磁齒輪是利用永磁體或電磁體進行扭矩-速度轉換的非接觸式機構，用于多種可再生能源應用中，能提高風能、海洋能和飛輪儲能的速度，以與電磁發電機的規格相匹配。和機械齒輪不同的是，磁齒輪內置過載保護，因工作時無摩擦而具有高可靠性，且無需潤滑。今天，我們將討論如何利用 COMSOL Multiphysics 模擬二維和三維的磁齒輪。

磁齒輪的構造和工作原理

磁齒輪一般包含三個轉子，每個轉子的磁極對數均不同，由很小的空氣間隙隔開。鐵磁性鋼磁極（中間轉子）調整內外轉子產生的磁場，并在空氣間隙中生成空間諧波。經過調整的磁場經鋼磁極與另一側的磁場相互作用，從而傳遞扭矩。

下圖說明了典型磁齒輪的工作原理。為簡單起見，我們選擇直線磁齒輪結構。不過，它的工作原理還是與旋轉磁齒輪相同。在這個結構中，模型的外部轉子包含 11 對磁極，內部轉子包含 4 對，中間轉子包含 15 對。它們分別記作 、 和 。

內部轉子上的 4 對磁極產生一個 4 次諧波占主導的磁場。然后該磁場經 15 對鋼磁極的調整，產生一個 11 次諧波占主導的磁場。調整后的磁場與外部轉子產生的可傳遞扭矩的 11 次諧波占主導的磁場相互作用。扭矩由此產生，因為此時外部轉子產生的磁場諧波分量與調整后的內部轉子磁場產生的諧波分量相匹配。

上方的示意圖顯示了直線磁齒輪的諧波分量。紅色箭頭表示永磁體的磁化方向。藍色曲線顯示內外部轉子產生的磁場。圖中未顯示轉子間的空氣間隙（雖已放大）。

為使扭矩密度最高，每個轉子的磁極對數應遵循以下關系：

為使傳遞的扭矩最大，所有三個轉子的磁極對和角速度之間的關系應如下：

其中 、 和 分別表示內部轉子、外部轉子和鋼磁極的速度。如果中間轉子保持靜止，速度和磁極對的關系則為：

、 和 的最佳組合是使扭矩的波動最小。這樣的波動主要由齒槽扭矩引起，這是由永磁電機和鋼磁極之間的磁場相互作用而產生。使齒槽扭矩最小的參數稱為齒槽因子。它表示為以下方程：

其中，LCM 指最小公倍數。當 時，齒槽扭矩最小。此處展示的所有示例均滿足該條件，且鐵磁性鋼磁極保持靜止。

磁齒輪的類型

根據工作方式，磁齒輪可分為三種類型：直線磁齒輪 (LMGs)、同軸磁齒輪 (CMGs) 和軸向磁齒輪 (AMGs)。對于直線磁齒輪和同軸磁齒輪，磁通量通常沿軸心線徑向向內或向外生成。然而對于軸向磁齒輪，磁通量線創建后則平行于轉子軸。在本篇博客文章中，我們將利用 COMSOL Multiphysics 展示這三種磁齒輪的示例。

同軸磁齒輪

同軸磁齒輪包含三個磁極對數不同的同心轉子，如下圖所示。內部轉子由八個永磁體 (PMs) 和一個軟鐵軛組成，軟鐵軛形成向外的磁通量，使 2 對磁極聚焦于轉子。外部轉子包含 20 個永磁體和一個軟鐵軛，軟鐵軛形成向內的磁通量，使 5 對磁極聚焦于轉子。在內外轉子中，永磁體按照海爾貝克陣列結構排列。七塊鋼置于中間的靜止環中，鋼塊之間的間距相同，形成一個包含 7 對磁極的靜止轉子。

左圖：同軸磁齒輪示意圖，顯示內部轉子、外部轉子和靜止鋼磁極。紅色箭頭表示永磁體的磁化方向。永磁體這樣排列可以使內部轉子成為向外磁通量的焦點，外部轉子成為向內磁通量的焦點。右圖：第一到第四象限依次是：磁通密度（模）、磁矢勢 (A_z)、徑向磁通密度 (B_r) 和網格圖。

本示例中選取的磁極對數使齒輪比為 5:2，作為齒槽因子的最小齒槽扭矩為 1。在 COMSOL Multiphysics 中，我們使用 “AC/DC 模塊”中的旋轉機械，磁場接口模擬同軸磁齒輪的二維橫截面。因為該模型由三個獨立零件構成，我們必須使用形成裝配將這幾個零件組裝成一個裝配并確定最終的幾何，這樣才能在空氣間隙區域創建兩個獨立的一致對。

我們使用 “BH/HB” 曲線將非線性材料模型加入到軟鐵域中。不過，靜止鋼磁極片的模擬則是使用相對磁導率 的線性材料。使用指定旋轉速度功能可以使內外轉子旋轉。通過計算力功能，使用 Maxwell 應力張量法計算內外轉子上的軸向扭矩。

上面的動畫展示了磁通密度的表面圖和磁矢勢 的等值線圖。其中外部轉子順時針旋轉，內部轉子逆時針旋轉，并顯示磁場的相互作用。

內外轉子上的軸向扭矩曲線。內部轉子上的扭矩波動較大（磁極對較少）。

您可以從“案例下載”中下載示例模型文件。其中可以找到幾何序列文件、COMSOL 模型文件以及提供詳細步驟說明的 PDF 文件。

軸向磁齒輪

軸向磁齒輪的工作原理與上面介紹的同軸磁齒輪相同。在本設計中，轉子沿軸向一個個堆疊在一起，而非按徑向排列，轉子之間存在很小的空氣間隙。因為磁場相互作用的表面很大，且三個轉子的長度相同，所以與同軸磁齒輪相比，軸向磁齒輪的扭矩密度更大。左下圖描繪了典型的軸向磁齒輪三維構造。

左圖：軸向磁齒輪示意圖，描繪了低速轉子、高速轉子和靜止鋼磁極。黑色箭頭表示永磁體的磁化方向。右圖：該仿真顯示了磁通密度（使用對數刻度的表面圖以及面上箭頭圖）和網格圖。

請下載教程，盡情探索模型設置背后的所有細節。這個特別的示例包含了一些模型文件，用于使用參數化掃描進行穩態研究，還包含了一個軸向磁齒輪的全三維時域仿真，其中使用了旋轉機械，磁場接口。其中還包含了一些穩態研究和時域研究的仿真結果。

上面的動畫顯示了磁通密度模的表面圖和面上箭頭圖。其中高速轉子順時針旋轉，低速轉子逆時針旋轉，并顯示磁場的相互作用。

實際上，通過解算高速轉子和低速轉子之間不同角位置的穩態研究，可以獲取磁齒輪的扭矩傳遞。通過穩態研究中的參數化掃描可以改變角位置。但是，對于瞬態仿真，則需要建立瞬態研究。有趣的是，您將會從這兩項研究中得到完全相同的扭矩傳遞。

內外轉子上的軸向扭矩曲線。左圖：穩態研究和參數化掃描。右圖：瞬態研究。高速轉子上的扭矩波動較大（磁極對較少）。

直線磁齒輪

直線磁齒輪的運用相當廣泛。例如，在油氣行業，它們為鉆井電機提供傳動，將高速度轉換成鉆井所需的高扭矩。這類磁齒輪也可與直線同步機械結合使用，作為電動汽車的自由活塞發電機，同時產生交流發電用于交流能相關的各種應用。

典型的直線磁齒輪構造如下圖所示。該齒輪由三個轉子構成，其中兩個為直線移動的電樞（也稱作轉子），其間為靜止鋼磁極。因為該幾何在方位角方向上對稱，所以我們可以利用二維軸對稱幾何求解。在此處展示的示例中，我們假設所有轉子的長度相同，且在運動方向上無限長。該條件意味著我們只需模擬幾何的一個扇區。

我們使用 COMSOL Multiphysics 中的磁場接口和移動網格接口建立模型。因為直線周期沒有內置的周期性邊界條件，我們就利用廣義拉伸算子為低速電樞和高速電樞都創建一個定制的周期性邊界條件。如要參考相關的示例，請閱讀上一篇博客文章。

為計算高速電樞和低速電樞之間的電磁力耦合，我們使用時域仿真。您可以從“案例下載”中下載模型文件及其關聯文檔。

左圖：直線磁齒輪的構造，展示了低速電樞、高速電樞和靜止鋼磁極。黑色箭頭表示永磁體的磁化方向。右圖：磁通密度模（表面圖）和磁通密度的等值線圖。還顯示了徑向分量。

高速電樞（左圖）和低速電樞（右圖）上電磁力的 z 分量。

上面的動畫描繪了磁通密度模的表面圖以及磁通密度徑向分量的等值線圖。另外還顯示了高速電樞和低速電樞的直線運動，以及磁場的相互作用。